一、均匀设计的提出
( s) N. c& Z7 @+ ]实际中的试验设计要求:
5 @+ S* o( H/ o& d9 r, w
1) 在一个生产过程中,有关的因素通常是很多的;
7 s. ]' T9 B7 H; r; Y2 P, Q2 L2) 在一项试验中,如何从众多的有关因子挑选出试验方案中的因素;
; F1 |9 k( o4 V
3) 试验的范围应当尽可能大一点;
* @- i3 y9 E; w: ~3 x& M4) 若试验范围允许大一些,则每一因素的水平个数最好适当多一些。
, u7 c# K2 v2 f6 r' [每一种试验设计方法都有其局限性,正交试验也不例外。它只宜用于水平数不多的试验中,若在一项试验中有S个因素,每个因素有q个水平,用正交设计安排试验,即使是部分实施,最少也要q2个试验,当q较大时,q2将更大,使实验工作者望而生畏。
+ h% T/ I8 }7 `+ I2 c
怎样减少试验的次数呢? 让我们从正交试验的特点入手,是否能够通过删除一些不太重要的性质,来达到减少试验次数的目的。
) q2 U6 M! W5 K- O& |. {' D
我们以正交表为例,来解释正交设计的特点:
8 x6 m: x! x4 t# V9 Z0 M2 n7 S
1) 任意一列中不同数字的重复数相同;
~' N# I7 F" T+ V4 Q# e/ ]2) 任意两列中同行数字构成若干数对,每个数对的重复数也相等。
# K* e1 V* I9 d/ [% \3 `* h7 w* R; y
这可以归纳为正交表具有“整齐可比”的性质,这个性质是为了便于试验数据分析。正交设计还有“均匀分散”的性质,这使得试验点有代表性。为了保证“整齐可比”的特点,正交设计就至少要求q2次试验,若要减少试验数目,只有去掉整齐可比的要求,只保留均匀分散的性质。均匀设计也就应运而生了!
' W+ [) S$ m# v" P* p& I二、均匀设计表及其使用表的构造
. p8 B, F4 M$ D& Z& q/ c(一)均匀设计表的构造
5 T9 n1 \* L' B+ x6 p/ I% w根据均匀设计的思想,方开泰(1980),王元和方开泰(1981)为使用者提供了一套均匀设计表。每一个均匀设计表都由一张设计表和配套的一张使用表构成。均匀设计表有一个代号Un(qs),其中“U”表示均匀设计,“n”表示试验次数,“q”表示每个因子的水平数,“s”代表该表的列数. 例如表1 U7(73) ,表示均匀设计,做7次试验,共有3个因子,每个因子有7个水平。
! P, p; K; @- f6 ]
表1 U7(73)
- W1 L* B0 `3 F& L1 `8 {8 Q1 F
均匀设计表的构造方法有很多种,这里仅介绍用好格子点法构造的均匀设计表。
# p; N% m- m" \1 o: j! m% G1 _
1. 给定试验数n,寻找比n小的整数h,且使n和h的最大公约数为1。符合这些条件的整数组成一个向量h=(h1,…,hm).
% J7 Q9 h* L" Z) B. h U! s2. 均匀设计表的第i列由下法生成uij= jhi([modn]
- G: Z6 v( P% b7 Y4 s3 T) l h1 L这里[modn]表示同余运算,若jhi 超过n,则用它减去一个适当倍数,使差落在[l,n]之中,uij 可以递推来生成
. P- H' N* F0 B
* w- f g" D1 }2 |" r$ @# X用上述步骤生成的均匀设计表记作Un(nm),向量h称作该表的生成向量,有时为了强调h的作用,可将Un(nm)记成Un(h). 给定n,相应的h可以方便地求得,从而m也就确定。所以m是n的一个函数,这个函数曾由大数学家欧拉研究过,称为欧拉函数,记为E(n). 这个函数告诉我们均匀设计表可能有多少列。
" w3 y- K9 [. M4 O1 I. e
由上述好格子点法,很容易列举均匀设计表的一些特点:
0 L) f) }( y; s* k$ h4 b
1) 每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验;
l! C& @8 M {! Y3 R2) 任两个因素的试验点点在平面的格子点上,每行每刊有且仅有一个试验点;
7 L( {, ~# ~# t9 {% z. r& O( D性质1)和2)反映了试验安排的“均衡性一,即对每个目素的每个水平一视同仁;
; n" Z0 F) X. O& |3) 均匀设计表任两组成的试验方案一般并不等价;
8 D* b! }, k [# T3 t- `$ Y4) 当因素的水平数增加时, 试验数按水平数的增加量在增加。
2 k( b# M( q5 W$ Q2 m(二)使用表的构造
/ F0 K2 _( O$ s9 d
均匀设计在使用时由于选择的列不同,试验的效果也大不相同,于是建议读者按使用表的推荐去选列。那么使用表又是如何产生的呢?假设我们要从均匀设计表U(n)中选出s列,则可能的选择有 种。我们要从中选择一个最好的,这里必须对“好和坏” 有明确的含义。表Un(nm)是由它的生成向量h=(h1,…,hm)所唯一确定的,选择s列,本质上就是从h中选择s个hil,…,his由这s个数生成的均匀设计表为Un(hil,…,his),它是一个n×s矩阵。它的每一行是s维空间Rs中的一个点,故n行对应Rs中n个点,若这n个点在试验范围内均匀,则试验效果好,否则试验效果不好。因此,比较两个均匀设计表Un(hil,…,his)和Un(hjl,…,hjs)的好坏等价于比较由它们所对应的两组点集的均匀性,于是我们必须要给出均匀性度量。
3 m2 ]) N& u5 W三、均匀性的度量
( \, C% B+ _0 D1 k在试验区域上布n个试验点Pn ={xk =(xk1,…,xks),k =1,…,n},如何度量其均匀性呢?在数论方法(或伪蒙特卡罗方法)中,最普遍采用的Lp-偏差。令x =(x1,…,xs)’∈Cs,[0,x)=[0,x1)×…[0,xs)为Cs中由远点O到x决定的矩形。令N (Pn,[0,x))为Pn中的点在Cs中散布均匀时,N (Pn,[0,x))/n应与[0,x)的体积Vol([0,x))相接近,两者的差
; q+ Q/ `" o7 @+ a* |称为点集Pn在点x的偏差。所谓Lp-偏差定义为
当p→∞时,上式化为
0 F/ _) p w) M- i' N! H4 {0 A当P=2时,L2-偏差为
3 b7 T) Q/ [9 ~' ~3 y1 m
有关这两种偏差的优缺点及它们的改进,在这里就不再详述了。
1 f$ ?( ~4 o! |% v) v) Y/ @. Q
四、均匀设计的应用
+ j2 g, f. h" l& f6 U% V 均匀设计的步骤和正交设计很相似,但也有一些不同之处。通常有如下步骤:
; a# s8 n, @( X! o$ A; z" E 1)根据试验的目的,选择合适的因素和相应的水平;
1 m) V( |+ k$ W- f: S 2)选择适台该项试验的均匀设计表,然后根据该表的使用表从中选出列号, 将因素分别安排到这些列号上,并将这些因素的水平按所在列的指示分别对号, 则试验就安排好了。
5 f" \/ s2 d2 ^3 _% W3 Q
选择香港浸会大学生物系的一项试验,来说明均匀设计的应用。
( K- ~$ p0 L3 p' }7 J1 j 为了研究环境污染对人体的危害,今考核六种金属的含量: 镉(Cd),铜(Cu),锌(Zn),镍(Ni),铬(Cr),铅(Pb),每种金属含量分别取17个水平(百万分之一,ppm):0.01, 0.05, 0.1, 0.2, 0.4, 0.8, 1, 2, 4, 5, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20。今欲考虑这些金属含量(包括它们的交互作用)对老鼠寿命的影响,该试验考核老鼠身上某种细胞的死亡率。
" j } i$ i5 X, U9 A6 m/ ` 综合考虑,选用均匀设计表U17(1716),根据使用表的指示,选用了表中1, 4, 6, 10, 14, 15列来安排六个因素,其试验方案如表2所示。实验结果为死亡率,为了了解试验误差,提高结论的精度,他们在同一试验条件下将试验重复三次,三次结果(Y1,Y2,Y3)列于表3,三次死亡率的均值为Y,列于表3的最后一列。
* M% f) M$ G) d表2 环保试验方案
表3 死亡率
. s3 K* Q% m4 S2 u
5 l+ h. p1 @. U/ A$ H3 U 进一步利用回归来分析数据。由于数据的各因素水平变化较大,故通常要对水平值先作变换,如取对数后再进行回归。
! C; B& t* _, I$ K4 D4 c* h 根据以往经验,知道六种金属间有交互作用,故应选用二次型回归模型,并利用逐步回归来筛选变量。最后得到的回归方程为:
! I9 e* z+ C9 N/ S4 F- s. T8 C- vY=32.68+5.03 log Cd +3.48 log Cu +2.03 log Ni
" C! `+ ^1 T3 E z+0.55(log Cu)2 -0.63(log Zn)2 +0.94(log Ni)2
- h$ H9 L3 M2 k# h% L+0.53(log Cd) log(Cu) -0.70(log Cd) log(Cr)' x1 z! E* g) q0 f9 K* N( {
+0.92(log Cu)(log Pb)
% m; A3 `8 }% F1 t, x: m
我们可以得出如下结论:
, ?3 h; J" B7 Q! ?, `
1. Cd,Cu和Ni的含量过高,对老鼠细胞的死亡率有显著作用;
* h/ q" g0 [/ A5 e5 b& Q* u
2. 金属Cd和Cu,Cd和Cr,Cu和Pb有交互作用,其中Cd和Cu, Cu和Pb对死亡率起正交互作用,而Cd和Cr对死亡率起负交互作用;
G$ a" Y! w7 Z 3. Zn可能会中和其它金属的破坏作用,降低老鼠细胞的死亡率。
2 {' X1 k: S9 d # a4 f) X& `6 N X9 c8 y7 r1 Y% |# ]
五、结论与建议
+ Q( Y! e, L0 f! n 本文简要地介绍了均匀设计的相关知识,也仅仅是惊鸿一瞥。均匀设计的深入研究至今仍然十分有意义,包括均匀性的度量的修正等。
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均匀设计的应用日益广泛,成功的案例与日俱增,读者不难从各种文献库中发现这些案例。近年来,均匀设计走向国际,有关均匀设计和均匀性的文章在国际刊物上已发表了几十篇,包括国际上顶尖的一些杂志,如“Biometrika”, “Technometrics”, “Mathematics Computation”, SIAM的刊物等。
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0 ], a a8 w8 g" o 参考文献
( L* Q7 P3 ~1 B9 P4 ? [1] 方开泰(1994),均匀设计及其应用,《数理统计与管理》第13卷,第1期:57~63;第2期: 59~61; 第3期: 52~56
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[2] 方开泰,马长兴(2001),正交与均匀试验设计,科学出版社
7 U; ]( ?, G! R! W( r1 I8 j1 h
[3] 方开泰(2004),均匀试验设计的理论、方法和应用——历史回顾,江苏大学学报
$ F G/ K2 A# {6 T. H& f+ V [4] 方开泰,王元(1996),数论方法在统计中的应用,科学出版社