一、均匀设计的提出
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实际中的试验设计要求:
$ {* C7 V8 m% @* z% [8 C- }" A1) 在一个生产过程中,有关的因素通常是很多的;
2 h4 D7 _0 V; e7 Z2) 在一项试验中,如何从众多的有关因子挑选出试验方案中的因素;
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3) 试验的范围应当尽可能大一点;
\0 |- M g& O8 m9 I6 E/ q4) 若试验范围允许大一些,则每一因素的水平个数最好适当多一些。
, {1 _+ [' D: P每一种试验设计方法都有其局限性,正交试验也不例外。它只宜用于水平数不多的试验中,若在一项试验中有S个因素,每个因素有q个水平,用正交设计安排试验,即使是部分实施,最少也要q2个试验,当q较大时,q2将更大,使实验工作者望而生畏。
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怎样减少试验的次数呢? 让我们从正交试验的特点入手,是否能够通过删除一些不太重要的性质,来达到减少试验次数的目的。
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我们以正交表为例,来解释正交设计的特点:
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1) 任意一列中不同数字的重复数相同;
3 n* m) n- r8 [( ~" H2) 任意两列中同行数字构成若干数对,每个数对的重复数也相等。
) h- O: n" I6 E, x
这可以归纳为正交表具有“整齐可比”的性质,这个性质是为了便于试验数据分析。正交设计还有“均匀分散”的性质,这使得试验点有代表性。为了保证“整齐可比”的特点,正交设计就至少要求q2次试验,若要减少试验数目,只有去掉整齐可比的要求,只保留均匀分散的性质。均匀设计也就应运而生了!
8 V6 @3 Y" j1 W: M/ ^) C# |二、均匀设计表及其使用表的构造
+ J: k! P, o3 `( K- s$ e. `(一)均匀设计表的构造
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根据均匀设计的思想,方开泰(1980),王元和方开泰(1981)为使用者提供了一套均匀设计表。每一个均匀设计表都由一张设计表和配套的一张使用表构成。均匀设计表有一个代号Un(qs),其中“U”表示均匀设计,“n”表示试验次数,“q”表示每个因子的水平数,“s”代表该表的列数. 例如表1 U7(73) ,表示均匀设计,做7次试验,共有3个因子,每个因子有7个水平。
- H" P- H3 h @4 ~7 a' F) @表1 U7(73)
- W; S& M$ s) f
均匀设计表的构造方法有很多种,这里仅介绍用好格子点法构造的均匀设计表。
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1. 给定试验数n,寻找比n小的整数h,且使n和h的最大公约数为1。符合这些条件的整数组成一个向量h=(h1,…,hm).
: R+ P0 l9 t: I$ C- @0 H
2. 均匀设计表的第i列由下法生成uij= jhi([modn]
! E: } ^/ P7 c: j这里[modn]表示同余运算,若jhi 超过n,则用它减去一个适当倍数,使差落在[l,n]之中,uij 可以递推来生成
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: X* f5 o: [" i* O" @! q7 P4 x) J E用上述步骤生成的均匀设计表记作Un(nm),向量h称作该表的生成向量,有时为了强调h的作用,可将Un(nm)记成Un(h). 给定n,相应的h可以方便地求得,从而m也就确定。所以m是n的一个函数,这个函数曾由大数学家欧拉研究过,称为欧拉函数,记为E(n). 这个函数告诉我们均匀设计表可能有多少列。
( t- ?1 c$ k/ n由上述好格子点法,很容易列举均匀设计表的一些特点:
2 a! @" h: F9 `5 i1) 每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验;
. J0 `8 q' j, x0 r
2) 任两个因素的试验点点在平面的格子点上,每行每刊有且仅有一个试验点;
7 ~ X/ j, A5 }* g3 a性质1)和2)反映了试验安排的“均衡性一,即对每个目素的每个水平一视同仁;
/ G2 K u, W3 U3) 均匀设计表任两组成的试验方案一般并不等价;
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4) 当因素的水平数增加时, 试验数按水平数的增加量在增加。
- \: D0 {: ?; s5 q(二)使用表的构造
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均匀设计在使用时由于选择的列不同,试验的效果也大不相同,于是建议读者按使用表的推荐去选列。那么使用表又是如何产生的呢?假设我们要从均匀设计表U(n)中选出s列,则可能的选择有 种。我们要从中选择一个最好的,这里必须对“好和坏” 有明确的含义。表Un(nm)是由它的生成向量h=(h1,…,hm)所唯一确定的,选择s列,本质上就是从h中选择s个hil,…,his由这s个数生成的均匀设计表为Un(hil,…,his),它是一个n×s矩阵。它的每一行是s维空间Rs中的一个点,故n行对应Rs中n个点,若这n个点在试验范围内均匀,则试验效果好,否则试验效果不好。因此,比较两个均匀设计表Un(hil,…,his)和Un(hjl,…,hjs)的好坏等价于比较由它们所对应的两组点集的均匀性,于是我们必须要给出均匀性度量。
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三、均匀性的度量
! S5 W# ?% G6 C; y) w: }
在试验区域上布n个试验点Pn ={xk =(xk1,…,xks),k =1,…,n},如何度量其均匀性呢?在数论方法(或伪蒙特卡罗方法)中,最普遍采用的Lp-偏差。令x =(x1,…,xs)’∈Cs,[0,x)=[0,x1)×…[0,xs)为Cs中由远点O到x决定的矩形。令N (Pn,[0,x))为Pn中的点在Cs中散布均匀时,N (Pn,[0,x))/n应与[0,x)的体积Vol([0,x))相接近,两者的差
7 G- i, {. M5 L/ p& w$ ^/ N/ O称为点集Pn在点x的偏差。所谓Lp-偏差定义为
当p→∞时,上式化为
' o+ O6 `. p" E1 @# e, A, e0 K1 J! ^当P=2时,L2-偏差为
( J! `; T7 @; R, v5 e; t4 v* K! }
有关这两种偏差的优缺点及它们的改进,在这里就不再详述了。
' a6 I- H& k, l" x/ W& }5 R; J- O
四、均匀设计的应用
. }) D6 k3 P [, h+ T: E8 c P7 y8 P( d 均匀设计的步骤和正交设计很相似,但也有一些不同之处。通常有如下步骤:
2 b6 n# R( A/ Z2 l6 b 1)根据试验的目的,选择合适的因素和相应的水平;
3 C9 f. y( s! k
2)选择适台该项试验的均匀设计表,然后根据该表的使用表从中选出列号, 将因素分别安排到这些列号上,并将这些因素的水平按所在列的指示分别对号, 则试验就安排好了。
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选择香港浸会大学生物系的一项试验,来说明均匀设计的应用。
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为了研究环境污染对人体的危害,今考核六种金属的含量: 镉(Cd),铜(Cu),锌(Zn),镍(Ni),铬(Cr),铅(Pb),每种金属含量分别取17个水平(百万分之一,ppm):0.01, 0.05, 0.1, 0.2, 0.4, 0.8, 1, 2, 4, 5, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20。今欲考虑这些金属含量(包括它们的交互作用)对老鼠寿命的影响,该试验考核老鼠身上某种细胞的死亡率。
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综合考虑,选用均匀设计表U17(1716),根据使用表的指示,选用了表中1, 4, 6, 10, 14, 15列来安排六个因素,其试验方案如表2所示。实验结果为死亡率,为了了解试验误差,提高结论的精度,他们在同一试验条件下将试验重复三次,三次结果(Y1,Y2,Y3)列于表3,三次死亡率的均值为Y,列于表3的最后一列。
6 A+ {' f# Y' o; J+ F4 K8 p表2 环保试验方案
表3 死亡率
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# c, {( B ~! _ 进一步利用回归来分析数据。由于数据的各因素水平变化较大,故通常要对水平值先作变换,如取对数后再进行回归。
8 `3 n! @# ]; ]7 j# l. N 根据以往经验,知道六种金属间有交互作用,故应选用二次型回归模型,并利用逐步回归来筛选变量。最后得到的回归方程为:
, I; W/ v. {+ p2 `2 h- \) dY=32.68+5.03 log Cd +3.48 log Cu +2.03 log Ni+ @7 S) _* x+ S6 h
+0.55(log Cu)2 -0.63(log Zn)2 +0.94(log Ni)2 N8 h+ `+ _0 H9 Z: _" f/ Y
+0.53(log Cd) log(Cu) -0.70(log Cd) log(Cr)
$ t) A! K/ w6 r+0.92(log Cu)(log Pb)
: ~) W$ x0 I/ A) P0 v/ r 我们可以得出如下结论:
. A) v! a, d" |8 t4 e 1. Cd,Cu和Ni的含量过高,对老鼠细胞的死亡率有显著作用;
' ~) p) Z X, _' K1 | 2. 金属Cd和Cu,Cd和Cr,Cu和Pb有交互作用,其中Cd和Cu, Cu和Pb对死亡率起正交互作用,而Cd和Cr对死亡率起负交互作用;
# @0 q5 L# N0 O 3. Zn可能会中和其它金属的破坏作用,降低老鼠细胞的死亡率。
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/ u$ b5 I6 y% Q# r5 ^ 五、结论与建议
; o* L) M6 l+ Q$ T' V4 M! e( c' } 本文简要地介绍了均匀设计的相关知识,也仅仅是惊鸿一瞥。均匀设计的深入研究至今仍然十分有意义,包括均匀性的度量的修正等。
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均匀设计的应用日益广泛,成功的案例与日俱增,读者不难从各种文献库中发现这些案例。近年来,均匀设计走向国际,有关均匀设计和均匀性的文章在国际刊物上已发表了几十篇,包括国际上顶尖的一些杂志,如“Biometrika”, “Technometrics”, “Mathematics Computation”, SIAM的刊物等。$ u7 R4 Z R( o: \5 m0 p
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参考文献
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[1] 方开泰(1994),均匀设计及其应用,《数理统计与管理》第13卷,第1期:57~63;第2期: 59~61; 第3期: 52~56
# h3 I' P+ m/ H2 B4 N* C
[2] 方开泰,马长兴(2001),正交与均匀试验设计,科学出版社
9 O9 E$ K6 {% z5 ` @( s
[3] 方开泰(2004),均匀试验设计的理论、方法和应用——历史回顾,江苏大学学报
# s; @& V2 k& h- c5 H [4] 方开泰,王元(1996),数论方法在统计中的应用,科学出版社