一、均匀设计的提出
Y a6 z/ W* c实际中的试验设计要求:
6 Y8 L+ [$ @$ e
1) 在一个生产过程中，有关的因素通常是很多的；
: u$ ~9 e+ ~7 V2 b s2) 在一项试验中，如何从众多的有关因子挑选出试验方案中的因素；
' V6 T, `; k0 J
3) 试验的范围应当尽可能大一点；
, c) W, s; M8 E
4) 若试验范围允许大一些，则每一因素的水平个数最好适当多一些。
/ T Y' ^' z- x$ a. y* _
每一种试验设计方法都有其局限性，正交试验也不例外。它只宜用于水平数不多的试验中，若在一项试验中有S个因素，每个因素有q个水平，用正交设计安排试验，即使是部分实施，最少也要q2个试验，当q较大时，q2将更大，使实验工作者望而生畏。
7 z: N# G1 o m1 c! j) |3 I6 t* J怎样减少试验的次数呢？ 让我们从正交试验的特点入手，是否能够通过删除一些不太重要的性质，来达到减少试验次数的目的。
: M4 v& K9 X; |& E4 G4 l* j
我们以正交表为例，来解释正交设计的特点:
9 \7 g, ]: S' c4 l
1) 任意一列中不同数字的重复数相同；
9 O: P. z U* a$ X9 N2 S
2) 任意两列中同行数字构成若干数对，每个数对的重复数也相等。
9 k2 X/ a) C3 X5 a4 ?0 Z这可以归纳为正交表具有“整齐可比”的性质，这个性质是为了便于试验数据分析。正交设计还有“均匀分散”的性质，这使得试验点有代表性。为了保证“整齐可比”的特点，正交设计就至少要求q2次试验，若要减少试验数目，只有去掉整齐可比的要求，只保留均匀分散的性质。均匀设计也就应运而生了！
2 P8 R. f- }$ I1 `: N2 t二、均匀设计表及其使用表的构造
$ h: O" `! ^) ^8 S+ m3 T（一）均匀设计表的构造
$ q! e# _+ ~9 U1 Y4 [3 Z, @0 w
根据均匀设计的思想，方开泰（1980），王元和方开泰（1981）为使用者提供了一套均匀设计表。每一个均匀设计表都由一张设计表和配套的一张使用表构成。均匀设计表有一个代号Un(qs)，其中“U”表示均匀设计，“n”表示试验次数，“q”表示每个因子的水平数，“s”代表该表的列数. 例如表1 U7(73) ，表示均匀设计，做7次试验，共有3个因子，每个因子有7个水平。
! {( O2 r4 u7 _7 {% M$ s% z2 j
表1 U7(73)
3 l F: ]% o) V* C2 O4 `9 x# R均匀设计表的构造方法有很多种，这里仅介绍用好格子点法构造的均匀设计表。
8 s% X. c1 p! h K" Q8 @: d' k" E6 w1. 给定试验数n，寻找比n小的整数h，且使n和h的最大公约数为1。符合这些条件的整数组成一个向量h=(h1，…，hm).
. H% B9 b8 w0 A& f: n2. 均匀设计表的第i列由下法生成uij= jhi([modn]
$ ]0 _! A; j3 n
这里[modn]表示同余运算，若jhi 超过n，则用它减去一个适当倍数，使差落在[l，n]之中,uij 可以递推来生成, F+ _& R- o" L1 l
& t& N: W/ U; Y8 I$ b% w4 e7 `* f用上述步骤生成的均匀设计表记作Un(nm)，向量h称作该表的生成向量，有时为了强调h的作用，可将Un(nm)记成Un(h). 给定n，相应的h可以方便地求得，从而m也就确定。所以m是n的一个函数，这个函数曾由大数学家欧拉研究过，称为欧拉函数，记为E(n). 这个函数告诉我们均匀设计表可能有多少列。
/ I! u9 E: G& J& }; Q
由上述好格子点法，很容易列举均匀设计表的一些特点:
) u, c6 n( v; K7 t. C( R
1) 每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验；
$ G( h/ \9 r( e5 k6 q
2) 任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每刊有且仅有一个试验点；
2 q: e. b. o& P4 D7 k% f; F* S
性质1)和2)反映了试验安排的“均衡性一，即对每个目素的每个水平一视同仁；
* R I' v2 R- Z7 w
3) 均匀设计表任两组成的试验方案一般并不等价；
( f7 S7 r# D. N; y$ c0 A6 i4) 当因素的水平数增加时, 试验数按水平数的增加量在增加。
; E i9 P; b ]3 `3 g（二）使用表的构造
7 H4 @4 v. O. f: w; P0 G均匀设计在使用时由于选择的列不同，试验的效果也大不相同，于是建议读者按使用表的推荐去选列。那么使用表又是如何产生的呢?假设我们要从均匀设计表U(n)中选出s列，则可能的选择有 种。我们要从中选择一个最好的，这里必须对“好和坏” 有明确的含义。表Un(nm)是由它的生成向量h=(h1，…，hm)所唯一确定的，选择s列，本质上就是从h中选择s个hil，…，his由这s个数生成的均匀设计表为Un(hil，…，his)，它是一个n×s矩阵。它的每一行是s维空间Rs中的一个点，故n行对应Rs中n个点，若这n个点在试验范围内均匀，则试验效果好，否则试验效果不好。因此，比较两个均匀设计表Un(hil，…，his)和Un(hjl，…，hjs)的好坏等价于比较由它们所对应的两组点集的均匀性，于是我们必须要给出均匀性度量。
+ v Z# _! D' i6 S三、均匀性的度量
1 p+ H8 d. u% C$ V/ s
在试验区域上布n个试验点Pn =｛xk =(xk1，…，xks)，k =1，…，n｝，如何度量其均匀性呢？在数论方法（或伪蒙特卡罗方法）中，最普遍采用的Lp-偏差。令x =(x1，…，xs)’∈Cs，[0,x)=[0,x1)×…[0，xs)为Cs中由远点O到x决定的矩形。令N (Pn，[0，x))为Pn中的点在Cs中散布均匀时，N (Pn，[0，x))/n应与[0，x)的体积Vol([0，x))相接近，两者的差
% X1 K& X1 R. c) Y称为点集Pn在点x的偏差。所谓Lp-偏差定义为
当p→∞时，上式化为
5 i$ h# ?4 q# v5 E" V
当P=2时，L2-偏差为
0 f4 r; c# U* S7 p7 N$ m6 q
有关这两种偏差的优缺点及它们的改进，在这里就不再详述了。
8 ?8 W7 r0 k$ P4 l
四、均匀设计的应用
. O6 l$ O7 X& I7 ?) _9 C 均匀设计的步骤和正交设计很相似，但也有一些不同之处。通常有如下步骤：
% y/ a) V+ {- K% }4 k% |) x' K
1)根据试验的目的，选择合适的因素和相应的水平；
2 N8 k0 h: w- e) |$ g2 @ h. l h 2)选择适台该项试验的均匀设计表，然后根据该表的使用表从中选出列号， 将因素分别安排到这些列号上，并将这些因素的水平按所在列的指示分别对号， 则试验就安排好了。
8 F- r/ l5 s- u/ | 选择香港浸会大学生物系的一项试验，来说明均匀设计的应用。
9 R' g3 ?+ Y) V+ T0 a9 o6 P 为了研究环境污染对人体的危害，今考核六种金属的含量: 镉（Cd），铜（Cu），锌（Zn），镍（Ni），铬（Cr），铅（Pb），每种金属含量分别取17个水平（百万分之一,ppm）：0.01, 0.05, 0.1, 0.2, 0.4, 0.8, 1, 2, 4, 5, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20。今欲考虑这些金属含量（包括它们的交互作用）对老鼠寿命的影响，该试验考核老鼠身上某种细胞的死亡率。
% q7 t9 c. k4 b+ N" x' x4 R: T
综合考虑，选用均匀设计表U17(1716)，根据使用表的指示，选用了表中1, 4, 6, 10, 14, 15列来安排六个因素，其试验方案如表2所示。实验结果为死亡率，为了了解试验误差，提高结论的精度，他们在同一试验条件下将试验重复三次，三次结果(Y1，Y2，Y3)列于表3，三次死亡率的均值为Y，列于表3的最后一列。
, d3 E/ r' i% }2 }7 T6 S* ]' F
表2 环保试验方案
表3 死亡率
' t5 l. [+ \" H9 B0 \7 o$ R
' ?2 Q0 b* H9 ]4 J$ K' p4 ^5 t/ `
进一步利用回归来分析数据。由于数据的各因素水平变化较大，故通常要对水平值先作变换，如取对数后再进行回归。
B% d$ j y4 g6 a( ] }
根据以往经验，知道六种金属间有交互作用，故应选用二次型回归模型，并利用逐步回归来筛选变量。最后得到的回归方程为：
, ^2 E& q6 h3 S& i$ k1 Q/ c. HY=32.68+5.03 log Cd +3.48 log Cu +2.03 log Ni
+ O5 P6 e7 U7 g+0.55(log Cu)2 -0.63(log Zn)2 +0.94(log Ni)2
$ k8 b* U8 O. X6 |: @ T+0.53(log Cd) log(Cu) -0.70(log Cd) log(Cr)
/ I& }) M8 N' L4 `8 K0 f+0.92(log Cu)(log Pb)
8 w6 Y9 L9 C: J1 t2 x
我们可以得出如下结论：
7 @# y0 U! u# [
1. Cd，Cu和Ni的含量过高，对老鼠细胞的死亡率有显著作用；
1 z8 B2 n$ y* U( Q
2. 金属Cd和Cu，Cd和Cr，Cu和Pb有交互作用，其中Cd和Cu, Cu和Pb对死亡率起正交互作用，而Cd和Cr对死亡率起负交互作用；
6 N# d# j c0 \( z# e* i 3. Zn可能会中和其它金属的破坏作用，降低老鼠细胞的死亡率。
# {, t6 H$ X( s2 s 2 y/ v. B4 u8 W4 s! M/ J
五、结论与建议
# Z! C2 u6 G7 ~) M% O/ c6 D2 L
本文简要地介绍了均匀设计的相关知识，也仅仅是惊鸿一瞥。均匀设计的深入研究至今仍然十分有意义，包括均匀性的度量的修正等。
/ j) M' V: x+ T% Y% a 均匀设计的应用日益广泛，成功的案例与日俱增，读者不难从各种文献库中发现这些案例。近年来，均匀设计走向国际，有关均匀设计和均匀性的文章在国际刊物上已发表了几十篇，包括国际上顶尖的一些杂志，如“Biometrika”, “Technometrics”， “Mathematics Computation”， SIAM的刊物等。1 s4 s3 r5 v& U7 b
: e9 u- ?0 w6 I0 X3 ^ 参考文献
* N3 [; y: c% z& _8 g5 E" v
[1] 方开泰（1994），均匀设计及其应用，《数理统计与管理》第13卷，第1期：57～63；第2期： 59～61； 第3期： 52～56
2 i' B) R' R0 O' `! j2 L
[2] 方开泰，马长兴（2001），正交与均匀试验设计，科学出版社
5 t6 z/ ?7 A- P% N& v
[3] 方开泰（2004），均匀试验设计的理论、方法和应用——历史回顾，江苏大学学报
$ S! {2 o8 \( i" Q [4] 方开泰，王元（1996），数论方法在统计中的应用，科学出版社
|手机版|药群论坛
( 蜀ICP备15007902号 )
收藏
支持
反对