一、均匀设计的提出
& s) J/ [6 P9 W- g, m+ ~
实际中的试验设计要求:
' k; g% c: S! e, l& ^3 u& S
1) 在一个生产过程中，有关的因素通常是很多的；
* e4 o/ O& |% y/ P+ w& r2) 在一项试验中，如何从众多的有关因子挑选出试验方案中的因素；
, T5 E3 u7 _& H' ^3 K3) 试验的范围应当尽可能大一点；
1 P% l: U' d5 ?7 ~* V) ]- @+ T4) 若试验范围允许大一些，则每一因素的水平个数最好适当多一些。
4 c K3 Z; `; j4 c) B每一种试验设计方法都有其局限性，正交试验也不例外。它只宜用于水平数不多的试验中，若在一项试验中有S个因素，每个因素有q个水平，用正交设计安排试验，即使是部分实施，最少也要q2个试验，当q较大时，q2将更大，使实验工作者望而生畏。
# m; u2 c' e% k9 `+ z- u# `% V
怎样减少试验的次数呢？ 让我们从正交试验的特点入手，是否能够通过删除一些不太重要的性质，来达到减少试验次数的目的。
5 a: B3 W$ k5 W我们以正交表为例，来解释正交设计的特点:
# {; ^! @" U$ L
1) 任意一列中不同数字的重复数相同；
7 q5 J C- _2 u3 K5 V: `; x
2) 任意两列中同行数字构成若干数对，每个数对的重复数也相等。
6 a! x5 ~( a& B4 D* ^这可以归纳为正交表具有“整齐可比”的性质，这个性质是为了便于试验数据分析。正交设计还有“均匀分散”的性质，这使得试验点有代表性。为了保证“整齐可比”的特点，正交设计就至少要求q2次试验，若要减少试验数目，只有去掉整齐可比的要求，只保留均匀分散的性质。均匀设计也就应运而生了！
' k3 u$ L4 o1 ?3 s1 ?. Z- N
二、均匀设计表及其使用表的构造
4 o" H3 f0 {, z) r/ d
（一）均匀设计表的构造
, G/ a$ D; Z6 A( p$ L: m4 `
根据均匀设计的思想，方开泰（1980），王元和方开泰（1981）为使用者提供了一套均匀设计表。每一个均匀设计表都由一张设计表和配套的一张使用表构成。均匀设计表有一个代号Un(qs)，其中“U”表示均匀设计，“n”表示试验次数，“q”表示每个因子的水平数，“s”代表该表的列数. 例如表1 U7(73) ，表示均匀设计，做7次试验，共有3个因子，每个因子有7个水平。
$ T2 l+ ?- ^5 B3 U- J1 W4 o8 \
表1 U7(73)
) _0 z; {4 [$ }! t p
均匀设计表的构造方法有很多种，这里仅介绍用好格子点法构造的均匀设计表。
0 p% m) x4 @, D) C+ n- T1. 给定试验数n，寻找比n小的整数h，且使n和h的最大公约数为1。符合这些条件的整数组成一个向量h=(h1，…，hm).
# C2 L7 |% ~3 v* O% I$ T/ \; O
2. 均匀设计表的第i列由下法生成uij= jhi([modn]
7 ]2 \: I) N0 R这里[modn]表示同余运算，若jhi 超过n，则用它减去一个适当倍数，使差落在[l，n]之中,uij 可以递推来生成0 u4 r7 s2 d% S
# ]+ v4 S! \. z$ e
用上述步骤生成的均匀设计表记作Un(nm)，向量h称作该表的生成向量，有时为了强调h的作用，可将Un(nm)记成Un(h). 给定n，相应的h可以方便地求得，从而m也就确定。所以m是n的一个函数，这个函数曾由大数学家欧拉研究过，称为欧拉函数，记为E(n). 这个函数告诉我们均匀设计表可能有多少列。
$ _: L2 B2 G' r' t* |由上述好格子点法，很容易列举均匀设计表的一些特点:
8 |8 P) l% \ E" Z
1) 每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验；
) z }$ I6 S/ {& K6 h
2) 任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每刊有且仅有一个试验点；
$ R `, v# f0 ]6 }0 q# Q& e. ?
性质1)和2)反映了试验安排的“均衡性一，即对每个目素的每个水平一视同仁；
& E( \2 Y6 ]1 D( F$ a
3) 均匀设计表任两组成的试验方案一般并不等价；
9 R# }2 ^2 l3 y" [7 |/ N" a
4) 当因素的水平数增加时, 试验数按水平数的增加量在增加。
! v# z1 L7 Z: W
（二）使用表的构造
. W- I1 d% x5 X
均匀设计在使用时由于选择的列不同，试验的效果也大不相同，于是建议读者按使用表的推荐去选列。那么使用表又是如何产生的呢?假设我们要从均匀设计表U(n)中选出s列，则可能的选择有 种。我们要从中选择一个最好的，这里必须对“好和坏” 有明确的含义。表Un(nm)是由它的生成向量h=(h1，…，hm)所唯一确定的，选择s列，本质上就是从h中选择s个hil，…，his由这s个数生成的均匀设计表为Un(hil，…，his)，它是一个n×s矩阵。它的每一行是s维空间Rs中的一个点，故n行对应Rs中n个点，若这n个点在试验范围内均匀，则试验效果好，否则试验效果不好。因此，比较两个均匀设计表Un(hil，…，his)和Un(hjl，…，hjs)的好坏等价于比较由它们所对应的两组点集的均匀性，于是我们必须要给出均匀性度量。
% z. E# k+ D$ ?9 G
三、均匀性的度量
: c5 ~' {! E8 X; S
在试验区域上布n个试验点Pn =｛xk =(xk1，…，xks)，k =1，…，n｝，如何度量其均匀性呢？在数论方法（或伪蒙特卡罗方法）中，最普遍采用的Lp-偏差。令x =(x1，…，xs)’∈Cs，[0,x)=[0,x1)×…[0，xs)为Cs中由远点O到x决定的矩形。令N (Pn，[0，x))为Pn中的点在Cs中散布均匀时，N (Pn，[0，x))/n应与[0，x)的体积Vol([0，x))相接近，两者的差
; D* }, _4 ~# @% n2 C; U
称为点集Pn在点x的偏差。所谓Lp-偏差定义为
当p→∞时，上式化为
/ I4 M% ]. \# o! e7 u当P=2时，L2-偏差为
5 W! q% ]1 k$ [ 有关这两种偏差的优缺点及它们的改进，在这里就不再详述了。
/ O* F4 W( U% k1 j* x1 V' L l 四、均匀设计的应用
9 Y! Y- r' p: a; A& R! W. G
均匀设计的步骤和正交设计很相似，但也有一些不同之处。通常有如下步骤：
$ r, k; E2 q/ t8 G! }
1)根据试验的目的，选择合适的因素和相应的水平；
5 X! P, M. F# T5 y' L" \
2)选择适台该项试验的均匀设计表，然后根据该表的使用表从中选出列号， 将因素分别安排到这些列号上，并将这些因素的水平按所在列的指示分别对号， 则试验就安排好了。
4 h# j$ Z6 v6 @# [
选择香港浸会大学生物系的一项试验，来说明均匀设计的应用。
& C2 ^! ~1 H; F; r' w$ R
为了研究环境污染对人体的危害，今考核六种金属的含量: 镉（Cd），铜（Cu），锌（Zn），镍（Ni），铬（Cr），铅（Pb），每种金属含量分别取17个水平（百万分之一,ppm）：0.01, 0.05, 0.1, 0.2, 0.4, 0.8, 1, 2, 4, 5, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20。今欲考虑这些金属含量（包括它们的交互作用）对老鼠寿命的影响，该试验考核老鼠身上某种细胞的死亡率。
% ^. m8 Z0 s& q0 d; N7 T) ]; k 综合考虑，选用均匀设计表U17(1716)，根据使用表的指示，选用了表中1, 4, 6, 10, 14, 15列来安排六个因素，其试验方案如表2所示。实验结果为死亡率，为了了解试验误差，提高结论的精度，他们在同一试验条件下将试验重复三次，三次结果(Y1，Y2，Y3)列于表3，三次死亡率的均值为Y，列于表3的最后一列。
$ r" [ O# C( |# n8 ?表2 环保试验方案
表3 死亡率
2 m8 z3 p8 V" }- W* i" [
, A1 L4 E, ~+ R 进一步利用回归来分析数据。由于数据的各因素水平变化较大，故通常要对水平值先作变换，如取对数后再进行回归。
" q; ~2 U8 J& k! R1 H9 X) b
根据以往经验，知道六种金属间有交互作用，故应选用二次型回归模型，并利用逐步回归来筛选变量。最后得到的回归方程为：
/ V; V% B5 }. E2 W; ^Y=32.68+5.03 log Cd +3.48 log Cu +2.03 log Ni9 ^! \' d" f, C! k4 N: b
+0.55(log Cu)2 -0.63(log Zn)2 +0.94(log Ni)2: n; D& g) r; A
+0.53(log Cd) log(Cu) -0.70(log Cd) log(Cr)& B4 D- a6 j5 y* O
+0.92(log Cu)(log Pb)
, B1 X- a$ Z0 s( d 我们可以得出如下结论：
% R& { Q% t% d; e! _' f4 d
1. Cd，Cu和Ni的含量过高，对老鼠细胞的死亡率有显著作用；
% i+ d' Y% H% `3 M2 A6 ~: ^' a9 _
2. 金属Cd和Cu，Cd和Cr，Cu和Pb有交互作用，其中Cd和Cu, Cu和Pb对死亡率起正交互作用，而Cd和Cr对死亡率起负交互作用；
g! ~. a y z) S
3. Zn可能会中和其它金属的破坏作用，降低老鼠细胞的死亡率。
7 m' x) K0 E$ g. t1 p5 v) g
+ r. i' m, t! d- v
五、结论与建议
1 Z, Y) |5 Y, G% W- H 本文简要地介绍了均匀设计的相关知识，也仅仅是惊鸿一瞥。均匀设计的深入研究至今仍然十分有意义，包括均匀性的度量的修正等。
7 a: j! z0 B; C$ N) e
均匀设计的应用日益广泛，成功的案例与日俱增，读者不难从各种文献库中发现这些案例。近年来，均匀设计走向国际，有关均匀设计和均匀性的文章在国际刊物上已发表了几十篇，包括国际上顶尖的一些杂志，如“Biometrika”, “Technometrics”， “Mathematics Computation”， SIAM的刊物等。
: R2 h" ?+ Z- F) y
4 V q4 ~$ S( I+ U; j: `1 L 参考文献
; D0 V$ V, f) T& z0 L4 }, T# t4 I [1] 方开泰（1994），均匀设计及其应用，《数理统计与管理》第13卷，第1期：57～63；第2期： 59～61； 第3期： 52～56
+ ~; B3 Q, a; j; L( W H0 ]5 o
[2] 方开泰，马长兴（2001），正交与均匀试验设计，科学出版社
7 u4 ^4 H2 b/ u/ X& n! U [3] 方开泰（2004），均匀试验设计的理论、方法和应用——历史回顾，江苏大学学报
% \7 Q* g( E6 s( [) Y! K9 |! ~ h9 K
[4] 方开泰，王元（1996），数论方法在统计中的应用，科学出版社
|手机版|药群论坛
( 蜀ICP备15007902号 )
收藏
支持
反对