一、均匀设计的提出
. _$ j) i" E9 r Z0 ?
实际中的试验设计要求:
7 _* f% M. s5 o& X9 ~1) 在一个生产过程中，有关的因素通常是很多的；
9 z: ]4 S2 Y8 p, C5 B: M2) 在一项试验中，如何从众多的有关因子挑选出试验方案中的因素；
5 P$ D+ W# Q" O7 U3) 试验的范围应当尽可能大一点；
( [. V8 J' L& ?4 Z0 P$ f4) 若试验范围允许大一些，则每一因素的水平个数最好适当多一些。
/ O& q0 a- S/ u+ \* W0 S每一种试验设计方法都有其局限性，正交试验也不例外。它只宜用于水平数不多的试验中，若在一项试验中有S个因素，每个因素有q个水平，用正交设计安排试验，即使是部分实施，最少也要q2个试验，当q较大时，q2将更大，使实验工作者望而生畏。
$ U/ w6 A, d# F; z3 b1 a怎样减少试验的次数呢？ 让我们从正交试验的特点入手，是否能够通过删除一些不太重要的性质，来达到减少试验次数的目的。
% @& C* K j; p2 u' s) q+ O% \2 Y& A
我们以正交表为例，来解释正交设计的特点:
! O9 o0 N; N' V: s8 ]
1) 任意一列中不同数字的重复数相同；
. R+ b% d2 m8 ?1 R- N- F
2) 任意两列中同行数字构成若干数对，每个数对的重复数也相等。
2 {/ O# `+ `# k: r5 j; A这可以归纳为正交表具有“整齐可比”的性质，这个性质是为了便于试验数据分析。正交设计还有“均匀分散”的性质，这使得试验点有代表性。为了保证“整齐可比”的特点，正交设计就至少要求q2次试验，若要减少试验数目，只有去掉整齐可比的要求，只保留均匀分散的性质。均匀设计也就应运而生了！
0 h9 {* j9 L% Z9 n( H" C二、均匀设计表及其使用表的构造
0 e1 L% z6 i: }/ Y, W（一）均匀设计表的构造
7 L0 e! p. d$ |8 V- j8 I" ]* y根据均匀设计的思想，方开泰（1980），王元和方开泰（1981）为使用者提供了一套均匀设计表。每一个均匀设计表都由一张设计表和配套的一张使用表构成。均匀设计表有一个代号Un(qs)，其中“U”表示均匀设计，“n”表示试验次数，“q”表示每个因子的水平数，“s”代表该表的列数. 例如表1 U7(73) ，表示均匀设计，做7次试验，共有3个因子，每个因子有7个水平。
, T( X( X( D6 I o表1 U7(73)
7 H. s3 h" ? w! T均匀设计表的构造方法有很多种，这里仅介绍用好格子点法构造的均匀设计表。
# |* {$ S& N& O* t4 p7 D
1. 给定试验数n，寻找比n小的整数h，且使n和h的最大公约数为1。符合这些条件的整数组成一个向量h=(h1，…，hm).
7 P1 p- t2 Y2 W. B2. 均匀设计表的第i列由下法生成uij= jhi([modn]
/ b p7 S% r5 E7 M% I
这里[modn]表示同余运算，若jhi 超过n，则用它减去一个适当倍数，使差落在[l，n]之中,uij 可以递推来生成* a5 Z6 K9 ^! _" h
+ V- ~+ s! }. K+ F" d
用上述步骤生成的均匀设计表记作Un(nm)，向量h称作该表的生成向量，有时为了强调h的作用，可将Un(nm)记成Un(h). 给定n，相应的h可以方便地求得，从而m也就确定。所以m是n的一个函数，这个函数曾由大数学家欧拉研究过，称为欧拉函数，记为E(n). 这个函数告诉我们均匀设计表可能有多少列。
' j5 m' ]5 s( i) E
由上述好格子点法，很容易列举均匀设计表的一些特点:
% |1 s5 u/ I$ o# F0 h( ]0 d$ b. O. g1) 每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验；
* [, x- _" Z0 g5 _) }8 u3 o5 e2) 任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每刊有且仅有一个试验点；
( }; T7 D4 Y+ R% a) k性质1)和2)反映了试验安排的“均衡性一，即对每个目素的每个水平一视同仁；
8 S2 A5 e( D/ W2 E7 W- N
3) 均匀设计表任两组成的试验方案一般并不等价；
7 w1 o, {9 O/ E& u6 x; D4) 当因素的水平数增加时, 试验数按水平数的增加量在增加。
. [ E4 w7 X: y9 r（二）使用表的构造
! l2 ~) O* [4 y均匀设计在使用时由于选择的列不同，试验的效果也大不相同，于是建议读者按使用表的推荐去选列。那么使用表又是如何产生的呢?假设我们要从均匀设计表U(n)中选出s列，则可能的选择有 种。我们要从中选择一个最好的，这里必须对“好和坏” 有明确的含义。表Un(nm)是由它的生成向量h=(h1，…，hm)所唯一确定的，选择s列，本质上就是从h中选择s个hil，…，his由这s个数生成的均匀设计表为Un(hil，…，his)，它是一个n×s矩阵。它的每一行是s维空间Rs中的一个点，故n行对应Rs中n个点，若这n个点在试验范围内均匀，则试验效果好，否则试验效果不好。因此，比较两个均匀设计表Un(hil，…，his)和Un(hjl，…，hjs)的好坏等价于比较由它们所对应的两组点集的均匀性，于是我们必须要给出均匀性度量。
* e" L6 |5 D( C- L( W/ n三、均匀性的度量
3 F+ d E3 m. r9 S5 \: W- ^
在试验区域上布n个试验点Pn =｛xk =(xk1，…，xks)，k =1，…，n｝，如何度量其均匀性呢？在数论方法（或伪蒙特卡罗方法）中，最普遍采用的Lp-偏差。令x =(x1，…，xs)’∈Cs，[0,x)=[0,x1)×…[0，xs)为Cs中由远点O到x决定的矩形。令N (Pn，[0，x))为Pn中的点在Cs中散布均匀时，N (Pn，[0，x))/n应与[0，x)的体积Vol([0，x))相接近，两者的差
/ J9 o# i/ q2 h6 l5 G称为点集Pn在点x的偏差。所谓Lp-偏差定义为
当p→∞时，上式化为
a5 R$ j3 n8 H当P=2时，L2-偏差为
- G9 Z. h' f" U$ g# }( N
有关这两种偏差的优缺点及它们的改进，在这里就不再详述了。
/ A! [. D& u1 T) ~
四、均匀设计的应用
6 @4 H" b% K: O: q; ~5 {; e 均匀设计的步骤和正交设计很相似，但也有一些不同之处。通常有如下步骤：
. y. I W5 y9 |& ]9 _+ o# g& ` 1)根据试验的目的，选择合适的因素和相应的水平；
2 |1 V, t) e. l! s* K' g 2)选择适台该项试验的均匀设计表，然后根据该表的使用表从中选出列号， 将因素分别安排到这些列号上，并将这些因素的水平按所在列的指示分别对号， 则试验就安排好了。
: s8 I3 P5 y% T0 @8 a p* \4 h
选择香港浸会大学生物系的一项试验，来说明均匀设计的应用。
7 l: G5 p. w, [
为了研究环境污染对人体的危害，今考核六种金属的含量: 镉（Cd），铜（Cu），锌（Zn），镍（Ni），铬（Cr），铅（Pb），每种金属含量分别取17个水平（百万分之一,ppm）：0.01, 0.05, 0.1, 0.2, 0.4, 0.8, 1, 2, 4, 5, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20。今欲考虑这些金属含量（包括它们的交互作用）对老鼠寿命的影响，该试验考核老鼠身上某种细胞的死亡率。
& r" W3 J8 H2 W# I2 M9 N 综合考虑，选用均匀设计表U17(1716)，根据使用表的指示，选用了表中1, 4, 6, 10, 14, 15列来安排六个因素，其试验方案如表2所示。实验结果为死亡率，为了了解试验误差，提高结论的精度，他们在同一试验条件下将试验重复三次，三次结果(Y1，Y2，Y3)列于表3，三次死亡率的均值为Y，列于表3的最后一列。
8 v/ J: ?' a$ B4 l表2 环保试验方案
表3 死亡率
- p+ R1 C7 n7 R% J( Q: @/ T$ e
6 W3 _/ V% J1 X/ l7 n3 A: T 进一步利用回归来分析数据。由于数据的各因素水平变化较大，故通常要对水平值先作变换，如取对数后再进行回归。
6 l& U" Q3 ^* H/ D 根据以往经验，知道六种金属间有交互作用，故应选用二次型回归模型，并利用逐步回归来筛选变量。最后得到的回归方程为：
: i) l, y! p6 E) w1 E" Z/ w; PY=32.68+5.03 log Cd +3.48 log Cu +2.03 log Ni5 g( J; Z. p9 S
+0.55(log Cu)2 -0.63(log Zn)2 +0.94(log Ni)2
c2 D) y. o9 C4 z1 g: V% o. x+0.53(log Cd) log(Cu) -0.70(log Cd) log(Cr)
$ {& i) I) a9 S$ \5 }+ v3 t+0.92(log Cu)(log Pb)
7 e6 l$ U) y6 {7 z; ? 我们可以得出如下结论：
, s$ P9 ]( \- X) m9 ]# \ 1. Cd，Cu和Ni的含量过高，对老鼠细胞的死亡率有显著作用；
9 v: `& M8 x8 }2 a$ j, L
2. 金属Cd和Cu，Cd和Cr，Cu和Pb有交互作用，其中Cd和Cu, Cu和Pb对死亡率起正交互作用，而Cd和Cr对死亡率起负交互作用；
! ?6 E0 a) B' ?% Q 3. Zn可能会中和其它金属的破坏作用，降低老鼠细胞的死亡率。
& I2 p# z* T! _' l3 s! ~
# {! c0 @7 u6 ~% R
五、结论与建议
2 Z' C% T3 H4 ]" o/ B
本文简要地介绍了均匀设计的相关知识，也仅仅是惊鸿一瞥。均匀设计的深入研究至今仍然十分有意义，包括均匀性的度量的修正等。
6 |3 L) I, {7 F5 z8 z7 Y
均匀设计的应用日益广泛，成功的案例与日俱增，读者不难从各种文献库中发现这些案例。近年来，均匀设计走向国际，有关均匀设计和均匀性的文章在国际刊物上已发表了几十篇，包括国际上顶尖的一些杂志，如“Biometrika”, “Technometrics”， “Mathematics Computation”， SIAM的刊物等。0 n8 S5 D6 Z) C4 n! k6 O* h4 X
2 C: B, J8 [0 O' n2 j1 u
参考文献
& p6 [1 Y" _3 A# M3 ]/ Y4 L [1] 方开泰（1994），均匀设计及其应用，《数理统计与管理》第13卷，第1期：57～63；第2期： 59～61； 第3期： 52～56
: A6 E/ W) ~* A" _" X [2] 方开泰，马长兴（2001），正交与均匀试验设计，科学出版社
0 m0 b8 T( D7 L% s% |2 \2 H [3] 方开泰（2004），均匀试验设计的理论、方法和应用——历史回顾，江苏大学学报
# C* \. \! L7 ~$ [% w [4] 方开泰，王元（1996），数论方法在统计中的应用，科学出版社
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